Сегодня изучаем именные теоремы, которые могут быть полезны для решения задачи №17 по планиметрии из второй части. Эти теоремы помогают быстро находить отношения отрезков, проверять пересечение прямых и работать со сложными конфигурациями в треугольнике. Разберём их в простом и понятном формате, чтобы вы могли уверенно применять их на экзамене.

Чевиана — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. В треугольнике таких отрезков часто несколько, и важно понять, при каких условиях они проходят через одну точку.

Теорема утверждает: три чевианы AL, BM и CK пересекаются в одной точке, если выполняется равенство:

Это критерий одновременного пересечения. Теорема помогает проверять, действительно ли выбранные точки лежат на чевианах, и использовать правильные отношения для решения задач с пропорциями и делением сторон.

Эта теорема применяется, когда нужно доказать или проверить коллинеарность трёх точек. Рассмотрим треугольник ABC, а на его сторонах возьмём точки C₁ и A₁. Точка B₁ находится на продолжении стороны AC.

Теорема Менелая говорит: точки C₁, A₁, B₁ лежат на одной прямой, если соблюдается отношение:

Эта формула встречается в задачах, где требуется найти отношение отрезков, доказать, что прямая проходит через конкретные точки, или определить их взаимное расположение.

Теорема Стюарта подходит для случаев, когда от вершины треугольника проведён произвольный отрезок длиной p, делящий основание на части x и y. Если стороны, прилегающие к основанию, равны a и b, то выполняется формула:

Теорема универсальна и особенно полезна тем, что из неё выводятся формулы для медиан и биссектрис.

Формула нахождения биссектрисы

Именные теоремы — это мощный инструмент, который делает сложные планиметрические задачи значительно понятнее. Если вы освоите работу с отношениями, правильно запомните формулы и будете уверенно применять их, задача №17 перестанет казаться пугающей. Тренируйтесь на примерах — и теоремы Чева, Менелая и Стюарта станут привычными помощниками.