Площадь треугольника: все формулы с примерами

S = ½ · a · h

где a — основание, то есть сторона, которую ты выбрал опорной, а h — высота: перпендикуляр, опущенный на эту сторону из противоположной вершины.

Пример. Основание треугольника 10 см, высота 6 см.

S = ½ · 10 · 6 = 30 см²

Единицы всегда квадратные: стороны в сантиметрах — площадь в см².

Откуда половина? Любой треугольник — ровно половина параллелограмма с тем же основанием и высотой, а площадь параллелограмма равна a·h.

Два момента, которые забывают. Основанием может быть любая из трёх сторон: высот тоже три, и формула сработает с любой парой «сторона плюс её высота». А у тупоугольного треугольника высота часто падает не на саму сторону, а на её продолжение. Это нормально.

Если высоты в условии нет, её строят и находят по теореме Пифагора. На этом приёме держится почти вся геометрия равнобедренных треугольников, к ней вернёмся ниже.

Собрал девять формул в одну таблицу: дальше каждая разобрана с примером, а здесь удобно сверяться.

Обозначения везде одинаковые: a, b, c — стороны, γ — угол, h — высота, p — полупериметр, r и R — радиусы вписанной и описанной окружности.

Формул, как видишь, не одна. Наизусть стоит держать первые три плюс равносторонний, остальные достаточно узнавать в лицо.

Отдельно про координаты: в школе эту формулу почти не проходят, а зря — для треугольника, заданного точками, она короче всех.

Пример. A(1; 1), B(5; 1), C(3; 4).

S = ½ · |(5−1)·(4−1) − (3−1)·(1−1)| = ½ · |12 − 0| = 6

Проверка через основную формулу: основание AB = 4, высота из точки C равна 3, значит S = ½·4·3 = 6. Сошлось.

Катеты — стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза — самая длинная, лежит напротив прямого угла.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

S = ½ · a · b

Работает это потому, что катеты перпендикулярны: каждый уже высота к другому, достраивать нечего.

Пример 1. Катеты равны 6 см и 8 см.

S = ½ · 6 · 8 = 24 см²

Дан один катет и гипотенуза — второй катет сначала ищут по Пифагору. Катет 6 и гипотенуза 10 дают √(100 − 36) = 8, и снова S = 24.

Вторая формула — через гипотенузу и высоту, опущенную на неё:

S = ½ · c · h

Та же «основание на высоту», только основанием взяли гипотенузу.

Пример 2. Гипотенуза равна 10 см, высота, проведённая к ней, 4,8 см.

S = ½ · 10 · 4,8 = 24 см²

Если высоту к гипотенузе не дали, её считают так: h = a·b/c. Для наших чисел h = 6·8/10 = 4,8.

Вот на чём спотыкаются почти все: высота к гипотенузе не равна её половине. Половине гипотенузы равна медиана — в треугольнике 6-8-10 это 5. Медиана и высота из прямого угла разные отрезки: 5 и 4,8.

И ещё: радиус вписанной окружности у прямоугольного треугольника равен r = (a + b − c)/2. Для 6-8-10 выходит r = 2, а проверка по S = p·r даёт 12·2 = 24.

Равнобедренный треугольник — с двумя равными боковыми сторонами; третья сторона называется основанием.

Первый способ — через основание и высоту:

S = ½ · b · h

Высота к основанию здесь совпадает с медианой и биссектрисой, поэтому делит основание пополам. Отсечённый ею прямоугольный треугольник имеет гипотенузу a (боковую сторону) и катет b/2. Дальше Пифагор.

Пример 1. Основание равно 12, боковая сторона 10.

h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8

S = ½ · 12 · 8 = 48

Подставь выражение для высоты в формулу — получится готовая связка без промежуточных шагов: S = (b/2)·√(a² − b²/4). Для тех же чисел: S = 6·√(100 − 36) = 6·8 = 48. Применима она при b < 2a: иначе треугольника с такими сторонами не существует и под корнем окажется отрицательное число.

Второй способ — через боковые стороны и угол между ними:

S = ½ · a² · sin γ

Это формула «две стороны и угол», где обе стороны равны a, а γ — угол при вершине.

Пример 2. Боковые стороны равны 10, угол при вершине 30°.

S = ½ · 10² · sin 30° = ½ · 100 · 0,5 = 25

Когда в условии дан угол при основании, сначала находят угол при вершине: углы при основании равны, а сумма всех трёх — 180°. При угле 30° у основания угол при вершине равен 120°, и sin 120° = √3/2.

У равностороннего треугольника все стороны равны a, каждый угол по 60°. Высота для площади тут не нужна:

S = a²√3 / 4

Вывод в две строки. Высота падает в середину основания, и по теореме Пифагора h = √(a² − (a/2)²) = √(3a²/4) = a√3/2. Подставляем в основную формулу: S = ½ · a · a√3/2 = a²√3/4.

Тот же результат даёт формула с синусом: S = ½·a²·sin 60° = ½·a²·(√3/2) = a²√3/4. Равносторонний треугольник — частный случай равнобедренного, так что все его формулы тоже работают.

Пример. Сторона равна 6.

S = 36·√3 / 4 = 9√3 ≈ 15,6

Читается формула и назад: площадь 9√3 — значит a² = 36 и сторона равна 6. Такие обратные задачи тоже встречаются, поэтому формулу выгоднее запомнить, чем выводить каждый раз.

Формула Герона нужна, когда известны только три стороны: ни высоты, ни углов.

Сначала считают полупериметр — половину периметра:

p = (a + b + c) / 2

Затем саму площадь:

S = √(p(p − a)(p − b)(p − c))

Пример. Стороны треугольника 13, 14 и 15.

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 21

S = √(21 · 8 · 7 · 6) = √7056 = 84

Не перемножай всё под корнем сразу, разложи на множители. Здесь 21·8·7·6 = (3·7)·2³·7·(2·3) = 2⁴·3²·7², а корень из этого — 2²·3·7 = 84. Считается в уме, и нули не теряются.

Ответ не обязан быть целым. Для сторон 4, 5 и 7: p = 8, S = √(8·4·3·1) = √96 = 4√6 ≈ 9,8.

Ещё формула сама сигналит, когда треугольника с такими сторонами не существует (сумма двух сторон меньше третьей): под корнем получится отрицательное число.

В первой части ЕГЭ задачу с тремя сторонами обычно выгоднее повернуть через синус, а вот во второй части, в задании 16, Герон применяется чаще.

S = ½ · a · b · sin γ

Здесь γ — угол именно между сторонами a и b. Синусы, которые понадобятся: sin 30° = 0,5, sin 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, sin 90° = 1.

Откуда берётся формула: возьми за основание сторону a, тогда высота к ней равна b·sin γ — это видно из прямоугольного треугольника, который отсекает высота. Подставляем в S = ½·a·h, и всё.

Пример. Стороны 8 и 5, угол между ними 30°.

S = ½ · 8 · 5 · 0,5 = 10

Тупой угол не помеха: sin 150° = sin 30° = 0,5, у тупого угла синус тот же, что у смежного острого. Те же стороны 8 и 5 с углом 150° дадут те же 10.

Разворачивается формула тоже легко: площадь 10 при сторонах 8 и 5 даёт sin γ = 2S/(a·b) = 20/40 = 0,5. Так на ЕГЭ и находят синус угла.

В задании 1 профиля набор «две стороны и угол между ними» — стандартное условие. И раз sin 90° = 1, формула для прямоугольного треугольника оказывается её частным случаем.

Вписанная окружность касается всех трёх сторон изнутри, её радиус обозначают r. Описанная проходит через все три вершины, её радиус — R.

Через радиус вписанной окружности:

S = p · r

Формула получается, если разбить треугольник на три маленьких с вершиной в центре вписанной окружности: у каждого высота равна r, а основания в сумме дают периметр.

Пример. Стороны 13, 14, 15, радиус вписанной окружности 4.

p = 21, S = 21 · 4 = 84 — столько же, сколько дала формула Герона. Так и проверяют себя.

Через радиус описанной окружности:

S = a·b·c / (4R)

Пример. Прямоугольный треугольник 6-8-10. Его гипотенуза — диаметр описанной окружности, значит R = 5.

S = (6 · 8 · 10) / (4 · 5) = 480 / 20 = 24

Обе формулы постоянно крутят наоборот: r = S/p и R = a·b·c/(4S), чтобы найти радиус через площадь. Для треугольника 13-14-15 получаем r = 84/21 = 4 и R = 2730/336 = 8,125. Во второй части профиля задачи на окружности без этого разворота просто не решаются.

Как найти площадь треугольника, зависит только от того, что дано в условии. Идёшь по таблице:

Два правила сверх таблицы. Не видишь, за что зацепиться — строй высоту: построение превращает любую задачу в прямоугольный треугольник и теорему Пифагора. Второе: если рядом со сторонами в условии мелькает окружность, почти наверняка речь о формулах с r или R, других вариантов в школьной программе нет.

Когда данных больше, чем нужно, берут самую короткую формулу, а лишние элементы оставляют на проверку ответа.

Четыре типовые задачи из открытого банка ФИПИ. Решения короткие: планиметрия первой части — это одна формула на задачу. В базовом ЕГЭ то же самое в заданиях 8 и 15, только числа проще.

Задача 1 (профильный ЕГЭ, задание 1). Две стороны треугольника равны 8 и 12, угол между ними 30°. Найдите площадь треугольника.

Решение: S = ½ · 8 · 12 · sin 30° = ½ · 8 · 12 · 0,5 = 24.

Ответ: 24. Встречается и обратная формулировка: площадь 24, стороны 8 и 12, найдите синус угла между ними. Тогда sin γ = 2·24/(8·12) = 0,5.

Задача 2 (профильный ЕГЭ, задание 1). Площадь треугольника ABC равна 4. Отрезок DE — средняя линия, соединяющая середины сторон AC и BC. Найдите площадь треугольника CDE.

Решение: средняя линия соединяет середины двух сторон, она вдвое меньше третьей стороны и параллельна ей. Треугольник CDE подобен ABC с коэффициентом ½, а площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия: S = 4 · (½)² = 4 · ¼ = 1.

Ответ: 1.

Задача 3 (профильный ЕГЭ, задание 1). Периметр треугольника равен 50, радиус вписанной окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

Решение: полупериметр p = 50/2 = 25. Формула S = p·r даёт S = 25 · 4 = 100. Заметь: сами стороны знать не нужно, хватает периметра.

Ответ: 100.

Задача 4 (задача на клетчатой бумаге: до 2021 года — задание 3 профильного ЕГЭ, сейчас тот же формат в ОГЭ, задание 18). Треугольник нарисован на клетчатой бумаге со стороной клетки 1. Основание занимает 6 клеток, проведённая к нему высота — 4 клетки. Найдите площадь треугольника.

Решение: S = ½ · 6 · 4 = 12.

Ответ: 12. За основание бери сторону, которая лежит по линиям сетки, — тогда и высота считается по клеткам напрямую, без Пифагора.

Где теряют баллы в таких задачах: забывают множитель ½, берут синус не того угла (нужен угол именно между данными сторонами), а в задаче на сетке считают клетки по диагональной стороне. И держи в голове: в бланк первой части вписывают целое число или конечную десятичную дробь, поэтому в реальных вариантах ответ «красивый». Получил 7√3 — ищи ошибку в расчёте.

Реально работает в первой части всего три формулы: синусная, основная и одна на радиус. Выучишь три из девяти — закроешь почти всё задание 1. Остальные нужны для второй части и для того, чтобы нестандартное условие не поставило в тупик.