Свойства логарифмов: все формулы и как их применять

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень возвести основание, чтобы получить нужное число.

Запись log_a b = c читается так: a^c = b.

log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. log₃ 9 = 2, потому что 3² = 9. Вот и всё определение.

У логарифма есть ОДЗ, то есть условия, при которых он вообще существует:

• основание: a > 0 и a ≠ 1;
• подлогарифмическое выражение: b > 0.

Про ОДЗ забывают чаще всего, и на экзамене за это режут баллы. Если под логарифмом стоит выражение с иксом, первым делом пиши, что это выражение больше нуля. Через неделю такой привычки это делается на автомате.

Базовые ограничения у всех формул одни и те же: основание больше нуля и не равно единице, подлогарифмические выражения больше нуля. К этому добавляются частные условия, которые как раз и упускают: новое основание c тоже должно быть допустимым (c > 0, c ≠ 1), в формуле со степенью в основании нужен q ≠ 0, а в обратном переходе число b обязано годиться в основание, то есть b > 0 и b ≠ 1.

И ещё деталь: каждая формула читается в обе стороны. Сумму логарифмов можно свернуть в логарифм произведения — на этом приёме строится решение большинства типовых уравнений.

Первые два свойства самые ходовые. Логарифм превращает умножение в сложение, а деление в вычитание.

log_a(bc) = log_a b + log_a c

Зачем раскладывать, если можно просто посчитать? Затем, что числа в задачах подобраны так, чтобы по отдельности логарифмы получались целыми:

lg 2 + lg 5 = lg(2·5) = lg 10 = 1.

Ни lg 2, ни lg 5 сами по себе не целые, а в сумме дают ровную единицу. С частным механика та же:

log₅ 250 − log₅ 2 = log₅(250/2) = log₅ 125 = 3.

Свернуть сумму, развернуть произведение — именно в таком виде свойство и попадается в заданиях с логарифмами чаще всего.

Ошибка №1: log(a + b) ≠ log a + log b

Логарифм суммы не раскладывается никак. Формула работает только для произведения. Проверь сам: log₂(4 + 4) = log₂ 8 = 3, а log₂ 4 + log₂ 4 = 2 + 2 = 4. Три не равно четырём. Ошибка распространённая, и составители заданий про неё прекрасно знают.

Степень из-под логарифма выносится вперёд множителем:

log_a b^p = p·log_a b

log₂ 8⁵ = 5·log₂ 8 = 5·3 = 15. Считать 8⁵ = 32 768 и потом брать логарифм от результата не надо, показатель просто спускается вниз.

Корень тоже степень, только с дробным показателем, поэтому вперёд уходит единица, делённая на показатель корня:

log₂ √8 = log₂ 8^(1/2) = ½·log₂ 8 = ½·3 = 1,5.

С кубическим то же самое: log₃ ³√9 = log₃ 9^(1/3) = ⅓·log₃ 9 = ⅓·2 = 2/3.

Менее очевидная история со степенью в основании: она уходит в знаменатель.

log_(a^q) b = (1/q)·log_a b, q ≠ 0

Разберём log₉ 27. Основание 9 = 3², число 27 = 3³. Выносим двойку из основания, тройку из числа: log₉ 27 = (3/2)·log₃ 3 = 3/2 = 1,5. Проверка: 9^1,5 = (√9)³ = 3³ = 27. Сошлось.

Приведение основания и числа к степеням одного числа и есть рабочая лошадка заданий с «некрасивыми» логарифмами, где основание не совпадает с подлогарифмическим выражением.

log_a b = log_c b / log_c a, где c > 0 и c ≠ 1

Логарифм по любому основанию можно переписать как отношение двух логарифмов по удобному основанию c. Какое взять c, решаешь ты — лишь бы оно было допустимым.

Где это нужно на практике:

1. Посчитать значение на калькуляторе. В инженерном есть только кнопки lg и ln, поэтому log₂ 3 берут так: log₂ 3 = ln 3 / ln 2 ≈ 1,0986 / 0,6931 ≈ 1,585.
2. Свести разные основания к одному: в уравнениях и неравенствах, где логарифмы стоят по разным основаниям, это первый шаг.

Второй пункт хорошо видно на классике из банка экзаменационных заданий: найди log₅ 9 · log₃ 25.

Раскладываем: 9 = 3², 25 = 5². Тогда log₅ 9 = 2·log₅ 3, а log₃ 25 = 2·log₃ 5. Произведение равно 4·log₅ 3·log₃ 5. Дальше обратный переход, свойство 10 из таблицы: log₅ 3 = 1/log₃ 5, значит log₅ 3 · log₃ 5 = 1. Ответ: 4.

Без формулы перехода здесь не обойтись, поэтому её и спрашивают часто.

Два основания попадаются настолько часто, что для них завели короткие обозначения.

Десятичный логарифм пишут как lg b. Это log₁₀ b, десятку просто не дописывают. lg 100 = 2, lg 1000 = 3. Он удобен там, где считают порядки величин: децибелы в акустике, pH в химии, шкала Рихтера. В школьных заданиях всплывает в вычислениях вроде lg 2 + lg 5, которое мы уже разобрали.

Натуральный логарифм ln b идёт по основанию e, числу Эйлера, примерно равному 2,71828. ln e = 1, ln 1 = 0. Выглядит солиднее остальных, а правила те же: все свойства из таблицы для ln верны. Пригодится он в заданиях с производной: производная ln x равна 1/x, а это одна из самых частых формул в задачах на исследование функций.

Единого алгоритма «на любое уравнение» нет: какие преобразования нужны, зависит от вида записи. Но типовая последовательность выглядит так.

1. Записать ОДЗ. Каждое подлогарифмическое выражение больше нуля; если икс сидит в основании, то основание больше нуля и не равно единице.
2. Упростить и привести к одному основанию, если основания разные. Сворачивай суммы и разности, выноси степени, при необходимости переходи к новому основанию. Если в записи стоит квадрат логарифма, здесь же делается замена переменной.
3. Потенцирование — когда обе части стали логарифмами по одному основанию. Логарифмы отбрасываются: приравниваешь сами выражения и решаешь обычное уравнение.
4. Проверка корней по ОДЗ. Без этого шага решение не засчитают.

log₂(x − 1) = 3

ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.

По определению логарифма x − 1 = 2³ = 8, откуда x = 9.

Девятка больше единицы, всё сходится. Ответ: 9.

log₂(x + 1) + log₂(x − 2) = 2

ОДЗ: x + 1 > 0 и x − 2 > 0. Берём более строгое условие: x > 2.

Сворачиваем сумму по свойству произведения: log₂((x + 1)(x − 2)) = 2.

Потенцируем: (x + 1)(x − 2) = 4 → x² − x − 2 = 4 → x² − x − 6 = 0.

Корни: x = 3 и x = −2.

Проверка по ОДЗ: −2 не подходит, 3 подходит. Ответ: 3.

Ради этого момента ОДЗ и писали на первом шаге. Без проверки в ответ лезет лишний корень, а развёрнутое решение с лишним корнем оценят ниже даже при идеальной алгебре.

log₂²x − 3·log₂x + 2 = 0

Запись log₂²x означает (log₂x)². ОДЗ: x > 0.

Замена t = log₂ x, и уравнение становится квадратным: t² − 3t + 2 = 0. Корни: t = 1 и t = 2.

Возвращаемся к иксу: log₂ x = 1 → x = 2; log₂ x = 2 → x = 4.

Оба корня больше нуля, оба идут в ответ. Ответ: 2; 4.

Заметь: потенцирование тут вообще не понадобилось, приведение к одному основанию тоже. Квадрат логарифма — сигнал сразу переходить к замене.

Неравенство решается почти как уравнение, только добавляется правило про знак. Когда отбрасываешь логарифмы:

• при основании a > 1 знак сохраняется: log_a f > log_a g ⇔ f > g;
• при основании 0 < a < 1 знак переворачивается: log_a f > log_a g ⇔ f < g.

Причина в монотонности, то есть в характере поведения функции. По основанию больше единицы логарифм растёт, по основанию меньше единицы убывает, а убывающая функция переворачивает все сравнения.

log₀,₅(2x − 6) > −2

ОДЗ: 2x − 6 > 0 → x > 3.

Представим правую часть как логарифм: −2 = log₀,₅ 4, потому что 0,5^(−2) = 4.

Слева и справа логарифмы по основанию 0,5 < 1, знак переворачиваем: 2x − 6 < 4 → x < 5.

Совмещаем с ОДЗ: x > 3 и x < 5. Ответ: (3; 5).

Забудешь перевернуть знак, получишь x > 5: вычисления идеальные, ответ неверный.

Метод рационализации логарифмических неравенств меняет логарифмическое выражение на обычное произведение, без логарифмов вообще. При f > 0, g > 0, a > 0, a ≠ 1:

log_a f − log_a g ⋚ 0 ⇔ (a − 1)(f − g) ⋚ 0

Здесь ⋚ означает любой знак неравенства, и он сохраняется. Частный случай: log_a f ⋚ 0 ⇔ (a − 1)(f − 1) ⋚ 0.

Почему это работает: при a > 1 множитель (a − 1) положителен, и знак задаёт разность (f − g); при 0 < a < 1 тот же множитель отрицателен и переворачивает знак сам. Правило смены знака уже вшито в формулу, отдельно разбирать основание не нужно.

log_x(x + 6) ≥ 2

Основание переменное — как раз тот случай, где метод и выигрывает.

ОДЗ: x > 0 и x ≠ 1 (основание), x + 6 > 0 выполняется автоматически.

Правую часть переписываем как логарифм по тому же основанию: 2 = 2·log_x x = log_x x².

Рационализация: (x − 1)((x + 6) − x²) ≥ 0. Раскрываем скобку со знаком минус: −(x − 1)(x² − x − 6) ≥ 0, то есть (x + 2)(x − 1)(x − 3) ≤ 0.

Корни −2, 1, 3, дальше метод интервалов: x ≤ −2 или 1 ≤ x ≤ 3.

С учётом ОДЗ (x > 0, x ≠ 1) остаётся ответ: (1; 3].

Проверка на границе: при x = 3 получаем log₃ 9 = 2, неравенство выполняется. При x = 4 слева log₄ 10 ≈ 1,66, что меньше двух, — значит четвёрка справедливо не попала в ответ.

Без рационализации пришлось бы отдельно разбирать случаи 0 < x < 1 и x > 1, каждый со своим направлением знака. В неравенствах с переменным основанием метод экономит время и снимает главный риск — ошибку со знаком.

Нумерация заданий меняется по годам, поэтому ориентироваться удобнее на типы. Логарифмы в профильной математике встречаются в четырёх ролях.

Простейшее уравнение из первой части. log₄(2x + 5) = 2, по определению 2x + 5 = 16, откуда x = 5,5. ОДЗ проверяется в уме: 2·5,5 + 5 = 16 > 0. Минута работы.

Вычисление выражения на владение свойствами: log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ 36 = 2. Бывает и злее, с обратным переходом: log₀,₈ 3 · log₃ 1,25. Так как 1,25 = 1/0,8, получаем log₀,₈ 3 · log₃(1/0,8) = −log₀,₈ 3 · log₃ 0,8 = −1. Ответ: −1. Без свойства 10 из таблицы тут делать нечего.

Уравнение с развёрнутым решением: замена переменной, квадратное уравнение, отбор корней — всё как в примере 3 выше. И вот здесь за пропущенную ОДЗ снимают балл, даже когда ответ верный.

Неравенство второй части, часто с переменным основанием. Без рационализации придётся вручную разбирать случаи a > 1 и 0 < a < 1: дольше, и ошибиться проще.

Если формулы выучены, задания первой части закрываются в одну-две строчки, а во второй всё упирается в дисциплину с ОДЗ. Точные номера и вес заданий стоит сверять с актуальной демоверсией и спецификацией ФИПИ на свой учебный год.

Распечатать и держать под рукой. Базовые ограничения везде одинаковые: a > 0, a ≠ 1, аргументы больше нуля.

• log_a 1 = 0
• log_a a = 1
• a^(log_a b) = b
• log_a(a^x) = x
• log_a(bc) = log_a b + log_a c
• log_a(b/c) = log_a b − log_a c
• log_a b^p = p·log_a b
• log_a ⁿ√b = (1/n)·log_a b
• log_(a^q) b = (1/q)·log_a b, где q ≠ 0
• log_a b = log_c b / log_c a, где c > 0 и c ≠ 1
• log_a b = 1/log_b a, где b > 0 и b ≠ 1
• lg b = log₁₀ b; ln b = log_e b, где e ≈ 2,718
• Рационализация: log_a f − log_a g ⋚ 0 ⇔ (a − 1)(f − g) ⋚ 0

Два пункта в список не влезли: log(a + b) не раскладывается вообще, а в неравенствах с основанием меньше единицы знак переворачивается. Остальное выше, на одном листе.