Теорема Пифагора: формула, доказательство, задачи

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Две стороны, которые его образуют, — катеты, обозначаем a и b. Третья, напротив прямого угла, — гипотенуза c. Она всегда длиннее любого катета, и на этом удобно себя проверять.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

c² = a² + b²

Формула связывает все три стороны сразу. Знаешь любые две — третья находится за один шаг. Оба случая ниже.

Гипотенуза — это корень из суммы:

c = √(a² + b²)

Пример 1. Катеты 3 и 4. c = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Пример 2. Катеты 2 и 7. c = √(4 + 49) = √53.

Второй пример я взял специально с «некрасивым» ответом. Под корнем не полный квадрат — так и оставляй: √53. Точное значение сохраняют, когда в условии нет требования дать десятичное приближение или округлить до сотых; если такое требование есть, только тогда берёшь калькулятор.

Из квадрата гипотенузы вычитаем квадрат известного катета, берём корень. Формула симметрична — смотря какой катет ищешь:

a = √(c² − b²) и b = √(c² − a²)

Пример 1. Гипотенуза 13, катет 12. a = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5.

Пример 2. Гипотенуза 10, катет 6. b = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.

Самопроверка до вычислений: c обязана быть больше известного катета, иначе под корнем окажется отрицательное число и в разборе условия где-то ошибка.

Спотыкаются все на одном: под корнем разность, а не сумма. Гипотенуза складывается, катет вычитается — вот эту пару и держи в голове.

Самое наглядное доказательство идёт через площади. Рисуем квадрат ABCD со стороной a + b и укладываем внутрь четыре одинаковых прямоугольных треугольника с катетами a и b, по одному в каждый угол.

K, L, M, N — вершины на сторонах большого квадрата:

AK = b, KB = a, BL = b, LC = a, CM = b, MD = a, DN = b, NA = a.

Треугольники AKN, KBL, LCM, MDN — те самые четыре,

KLMN — наклонный квадрат, каждая его сторона равна c

В середине остаётся четырёхугольник KLMN, у которого каждая сторона — гипотенуза c. И это квадрат: стороны равны, углы по 90°, ведь два острых угла треугольника в сумме дают 90°, а третий угол на прямой линии равен 180° − 90° = 90°.

Дальше считаем площадь большого квадрата двумя способами.

Напрямую: S = (a + b)².

По частям — четыре треугольника по ab/2 плюс квадрат со стороной c: S = 4 · (ab/2) + c² = 2ab + c².

Приравниваем:

(a + b)² = 2ab + c² a² + 2ab + b² = 2ab + c² a² + b² = c²

Слагаемые 2ab сократились, осталась формула. Доказано.

Работает и наоборот: если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других, треугольник прямоугольный. Прямой угол лежит напротив этой наибольшей стороны.

Пример. Стороны 7, 24, 25 — прямоугольный ли треугольник? 25² = 625, а 7² + 24² = 49 + 576 = 625. Сошлось, значит угол напротив стороны 25 прямой.

Приём выручает, когда в условии дали три стороны, а надо понять, есть ли там 90°. На ОГЭ так устроены задания на выбор верных утверждений.

Пифагорова тройка — три натуральных числа a, b и c, для которых a² + b² = c². Такие наборы стоит держать в памяти: они часто попадаются в заданиях и ускоряют счёт, ответ иногда виден до вычислений. Но узнал тройку — всё равно проверь по формуле, числа в условии могут оказаться другими.

Умножь любую тройку на одно и то же число — получится новая. Из 3-4-5 растут 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20 и дальше, так что запас куда больше пяти строк таблицы.

Как это экономит время: катеты 9 и 12 — утроенная тройка 3-4-5, гипотенуза 15. Ни корня, ни возведения в квадрат. Секунда.

Четыре типовые задачи — именно в таком виде теорема приходит на экзамене.

Стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найди диагональ.

Диагональ режет прямоугольник на два прямоугольных треугольника и в каждом служит гипотенузой: d = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13, основание — 10. Найди высоту, проведённую к основанию.

Эта высота ещё и медиана, поэтому основание делится пополам: по 5. Вот и прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 и катетом 5: h = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Найди расстояние между точками A(1; 2) и B(7; 10).

Катеты — это разности координат: по x получаем 7 − 1 = 6, по y — 10 − 2 = 8. Расстояние оказывается гипотенузой: AB = √(6² + 8²) = 10. Формула расстояния между точками из курса геометрии — та же теорема Пифагора, только записанная в координатах.

Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 3 и 6. Найди его диагональ.

Теорему применяем дважды. Сначала диагональ основания: √(2² + 3²) = √13. Она вместе с высотой 6 и искомой диагональю даёт прямоугольный треугольник: d = √(13 + 36) = √49 = 7.

Двойной заход — стандартный ход во всех задачах на диагонали параллелепипеда и куба. На профильном ЕГЭ спрашивают регулярно.

Путают катет и гипотенузу. Пишут a² + c² = b² и получают ерунду. Правило одно: в одиночестве по одну сторону равенства стоит только квадрат гипотенузы, то есть стороны напротив прямого угла.

Применяют теорему к обычному треугольнику. Без угла 90° формула не работает. Для непрямоугольных есть теорема косинусов, она из той же темы, но проходят её отдельно.

Теряют корень. Нашли c² = 25 и пишут в ответ 25. А надо c = √25 = 5. Самая обидная потеря: решение верное, балла нет.

Отрицательное число под корнем. Такой результат означает, что за гипотенузу взята не та сторона либо перевёрнут порядок вычитания: вычитают из квадрата катета квадрат гипотенузы вместо обратного. Разбери условие заново — какая сторона лежит напротив прямого угла, та и идёт в c², и только из неё вычитается квадрат катета.

Здравый смысл спасает почти всегда. Гипотенуза обязана быть длиннее каждого катета, катет — короче гипотенузы. Не сошлось — возвращайся к раскладке квадратов и ищи, где перепутал.