Закон Ома: для участка цепи и для полной цепи

Сила тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению. Вот и весь закон Ома. Формула:

I = U / R

Что тут что:

• I — сила тока, измеряется в амперах (А);
• U — напряжение, в вольтах (В);
• R — сопротивление, в омах (Ом).

Если по-бытовому: напряжение «толкает» заряды по цепи, а сопротивление им мешает. Удвоил напряжение при том же резисторе — ток удвоился. Удвоил сопротивление — ток упал вдвое. Проверь сам: 5 В на резисторе 10 Ом дают 0,5 А, а 10 В на том же резисторе уже 1 А.

Пропорциональность работает не всегда и не для всего.Она выполняется при постоянной температуре для омического участка. Омический участок — это такой участок цепи, у которого сопротивление не зависит от тока. У раскалённой спирали лампы или у полупроводникового диода прямой пропорциональности между I и U уже нет.

Есть и вторая оговорка, без неё дальше никуда. В таком виде формула работает для участка цепи, то есть для куска без источника. Для полной цепи, где внутри сидит батарейка, она выглядит иначе. Разберём обе версии и разницу между ними: именно на этой разнице спотыкаются чаще всего.

Участок цепи — любой фрагмент, где нет источника тока: резистор, лампочка, кусок провода. Есть напряжение между концами участка и сопротивление самого участка. Больше ничего.

Схема участка:

A ─────[ R ]───── B

→ I

U - напряжение между точками A и B, В

Закон Ома для участка цепи:

I = U / R, где I [А] = U [В] / R [Ом]

Формула в таком виде описывает омический участок при неизменной температуре — именно с такими участками работают школьные задачи, если в условии прямо не сказано другое.

Отсюда сразу вылезают две производные формулы: U = I · R и R = U / I. Запоминаются они через треугольник:

U

─────────

I │ R

Закрываешь пальцем нужную величину и видишь, как её найти. Закрыл I — осталось U/R. Закрыл U — осталось I·R. Закрыл R — осталось U/I.

Пример 1. К участку с резистором 4 Ом приложено напряжение 12 В. Найдём ток.

I = U / R = 12 В / 4 Ом = 3 А.

Пример 2. Через спираль утюга при напряжении 220 В идёт ток 5 А. Найдём сопротивление спирали.

R = U / I = 220 В / 5 А = 44 Ом.

В сложных схемах выручает вот что: закон Ома для участка применим к любому отдельному элементу цепи. Берёшь напряжение именно на этом резисторе, его сопротивление — получаешь ток через него. Только не смешивай в одной формуле величины от разных элементов, иначе ответ уедет.

Полная цепь — весь контур целиком: внешняя часть (резисторы, лампы) плюс сам источник, будь то батарейка, аккумулятор или генератор. У источника есть две собственные характеристики, и обе придётся учитывать:

Закон Ома для полной цепи:

где ε — ЭДС (В), R — сопротивление внешней цепи (Ом), r — внутреннее сопротивление источника (Ом), I — сила тока (А).

Схема полной цепи:

┌────────[ R ]────────┐

│ → I │

─┴─ источник │

│ ε, r │

└─────────────────────┘

Здесь путаются все, поэтому разложу по полочкам.

ЭДС и напряжение — разные вещи. При разомкнутой цепи тока нет, падения на r тоже нет, поэтому напряжение на клеммах равно ЭДС. Реальный вольтметр всё же пропускает через себя какой-то ток, так что строго говорить надо так: показание практически совпадает с ε, когда ток через прибор пренебрежимо мал. Пошёл заметный ток — и часть ЭДС падает внутри источника на r, а на внешнюю цепь достаётся меньше:

Теперь проверим формулу на здравый смысл. Пусть r стремится к нулю, то есть источник идеальный. Тогда I = ε / R, и формула полной цепи превращается в формулу участка. Значит, закон для участка — её частный случай.

Другой крайний случай, короткое замыкание. Внешнее сопротивление R = 0, ток ограничивает только внутреннее: I = ε / r. У батарейки r маленькое, поэтому ток выходит огромным — отсюда искры и нагрев, если замкнуть клеммы проволокой.

Пример 1. Батарейка с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом замкнута на резистор 5 Ом. Ток в цепи:

I = ε / (R + r) = 12 В / (5 Ом + 1 Ом) = 2 А.

Напряжение на резисторе: U = I · R = 2 А · 5 Ом = 10 В. Обрати внимание: не 12 В, а 10 В. Недостающие 2 В упали внутри батарейки.

Пример 2. Источник с ЭДС 4,5 В даёт ток 0,5 А в цепи с внешним сопротивлением 8 Ом. Найдём внутреннее сопротивление.

Из I = ε / (R + r) выражаем: r = ε / I − R = 4,5 В / 0,5 А − 8 Ом = 9 Ом − 8 Ом = 1 Ом.

Сопротивление в формулах выше берётся не с потолка. Для однородного проводника его считают так:

R = ρ · l / S

где l — длина проводника (м), S — площадь поперечного сечения (мм²), ρ (читается «ро») — удельное сопротивление материала, то есть сопротивление проводника длиной 1 м и сечением 1 мм². В большинстве школьных задач ρ измеряют в Ом·мм²/м.

Логика простая. Чем длиннее провод, тем больше сопротивление: заряду дальше идти. Чем толще — тем меньше, дорога шире. Потому удлинители под мощную технику и делают с толстой медной жилой.

Удельные сопротивления основных материалов (при 20 °C):

Медь и алюминий — лучшие проводники из доступных, из них и делают провода. У нихрома сопротивление в десятки раз выше, поэтому его берут ровно для обратной задачи: спирали нагревателей.

Пример. Медный провод длиной 10 м и сечением 1 мм²: R = 0,017 Ом·мм²/м · 10 м / 1 мм² = 0,17 Ом. Такой же кусок нихрома дал бы 1,1 · 10 / 1 = 11 Ом, примерно в 65 раз больше.

Ещё одну зависимость любят подсовывать в задачах: сопротивление металлов растёт с температурой. У холодной спирали лампочки оно заметно ниже, чем у раскалённой — и это как раз тот случай, когда табличное ρ при 20 °C не годится.

Соединить резисторы можно двумя способами, и наборы формул у них разные:

При последовательном соединении элементы стоят друг за другом, току некуда свернуть:

───[ R₁ ]───[ R₂ ]───

I один и тот же

При параллельном цепь разветвляется, и ток делится между ветвями:

┌────[ R₁ ]────┐

──┤ ├──

└────[ R₂ ]────┘

Напряжение в последовательной цепи делится пропорционально сопротивлениям: U₁ / U₂ = R₁ / R₂. На большем резисторе падает больше вольт, вот вам и делитель напряжения.

Для двух (только для двух!) параллельных резисторов удобнее считать без дроби:

R = R₁ · R₂ / (R₁ + R₂)

Например, 6 Ом и 3 Ом параллельно дают R = 6 · 3 / (6 + 3) = 18 / 9 = 2 Ом.

Держи признак для самопроверки. Общее сопротивление параллельного участка всегда меньше самого маленького из резисторов, а последовательного — больше самого большого. Вышло иначе — ищи ошибку в расчёте.

Мощность тока — сколько энергии выделяется в цепи за секунду. Основная формула:

P = U · I

где U — напряжение (В), I — сила тока (А), P — мощность в ваттах (Вт).

Подставь сюда закон Ома для участка цепи, и та же формула запишется ещё двумя способами:

P = U · I = I² · R = U² / R

Какую брать, решает условие. Знаешь ток и сопротивление — бери I²R. Знаешь напряжение и сопротивление — U²/R. В последовательной цепи удобнее I²R, потому что ток у всех элементов одинаковый. В параллельной — U²/R, там одинаково напряжение.

Пример. Через резистор 10 Ом идёт ток 2 А. Мощность: P = I² · R = (2 А)² · 10 Ом = 40 Вт.

Работа тока — это мощность, умноженная на время:

A = P · t = U · I · t, в джоулях (Дж).

Частный случай работы — нагрев проводника, закон Джоуля-Ленца:

Q = I² · R · t

где Q — количество теплоты в джоулях (Дж), выделившееся за время t. Именно из-за него греется блок питания и плавится предохранитель при большом токе.

Четыре типовых сюжета задач, по одной задаче на каждый.

Резистор R₁ = 2 Ом соединён последовательно с парой параллельных резисторов R₂ = 6 Ом и R₃ = 3 Ом. К цепи приложено напряжение 12 В. Найдём общий ток.

Сворачиваем схему по кускам. Параллельный участок: R₂₃ = 6 · 3 / (6 + 3) = 2 Ом. Общее сопротивление: R = R₁ + R₂₃ = 2 Ом + 2 Ом = 4 Ом. Ток: I = U / R = 12 В / 4 Ом = 3 А.

Ответ: 3 А.

При подключении к источнику резистора 4 Ом ток в цепи равен 2 А, а при резисторе 9 Ом — 1 А. Найдём r и ε источника.

Записываем закон Ома для полной цепи дважды: ε = 2 А · (4 Ом + r) и ε = 1 А · (9 Ом + r). ЭДС одна и та же, значит, правые части равны: 8 + 2r = 9 + r, откуда r = 1 Ом. Тогда ε = 2 А · (4 Ом + 1 Ом) = 10 В.

Ответ: r = 1 Ом, ε = 10 В.

Источник с ЭДС 10 В и внутренним сопротивлением 1 Ом замкнут на резистор 9 Ом. Найдём КПД.

КПД источника — доля энергии, ушедшая во внешнюю цепь:

η = U / ε = R / (R + r) = 9 Ом / (9 Ом + 1 Ом) = 0,9 = 90%.

Ответ: 90%.

Ещё один момент, который любят спрашивать: максимальная мощность во внешней цепи выделяется при R = r, а КПД в этот момент всего 50%. Половина энергии греет сам источник.

Дан график зависимости силы тока от напряжения для проводника: прямая проходит через начало координат, при U = 6 В ток равен 0,5 А, при U = 12 В — 1 А. Найдём сопротивление.

Прямая через ноль означает, что сопротивление постоянно. Берём любую точку: R = U / I = 6 В / 0,5 А = 12 Ом. Проверка по второй точке: 12 В / 1 А = 12 Ом. Сходится.

Ответ: 12 Ом.

А если график I(U) изогнут, типичная картина для лампы накаливания, то одного числа для всей кривой нет. В школьной задаче считают статическое сопротивление: R = U / I именно в той рабочей точке, что указана в условии, а не «в среднем» по графику.

Самое популярное — формулу участка тащат в полную цепь и делят ЭДС только на внешнее сопротивление: I = ε / R. В знаменателе обязана быть сумма R + r. Составители эту ловушку обожают: r спрятано в конце условия мелким шрифтом, и половина решающих его просто не видит.

Дальше идёт путаница ЭДС и напряжения. ЭДС — характеристика самого источника, ей всё равно, что к нему подключили. А напряжение на клеммах U = ε − I·r падает с ростом тока. Показание вольтметра совпадает с ε тогда, когда тока в цепи практически нет.

Внутреннее сопротивление теряют. В задачах на ток короткого замыкания (I = ε / r), на КПД и на распределение мощности между источником и внешней цепью r нужно учитывать всегда, когда оно дано в условии или следует из него. Бывает и наоборот: источник назван идеальным, и тогда r = 0. Увидел слово «источник» — проверь, что сказано про его внутреннее сопротивление.

Формулы соединений тоже мешаются: сопротивления складываются при последовательном соединении, а обратные величины 1/R — при параллельном. Спасает та же проверка на минимум и максимум, о которой шла речь выше.

И напоследок, самое обидное: в формулу мощности подставляют чужие величины. В P = U² / R ставят общее напряжение цепи вместо напряжения на конкретном резисторе. Правило железное: U, I и R в одной формуле относятся к одному и тому же элементу.